jueves, 19 de noviembre de 2015

Unidad 3: Integral Definida

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno comprenderá el concepto de integral definida así como su interpretación gráfica. Resolverá problemas de aplicación geométrica al mismo tiempo que resolverá problemas del entorno económico-administrativo.
El alumno aplicará técnicas adicionales para la resolución de integrales que presentan estructuras complejas asociadas con modelos y problemas del entorno económico-administrativo.
El alumno entenderá los conceptos elementales del álgebra lineal y los aplicará en problemas del ámbito económico y de gestión de negocios.
3.1 Área bajo la curva. 
Como observas, es fácil calcular áreas de figuras conocidas, pero ¿qué pasa cuando queremos calcular el área debajo de la siguiente curva, que es una función  ?

Curva

Éste es, quizá, el problema más importante en torno al cual se desarrolló el cálculo integral.
Veamos un caso particular. Considera la gráfica de la función
 
¿Cuál es el área de la región sombreada?

Gráfica

El área de la superficie delimitada por la curva  y los ejes ordenados, en el primer cuadrante, es .
A simple vista parece una simple curiosidad, pero encontrar el área debajo de una curva no sólo es un problema interesante, además es muy útil pues tiene muchísimas aplicaciones —el cálculo en distancias, crecimiento de poblaciones, etcétera— que conocerás en la siguiente unidad.
¿Cómo la calculamos?
Analicemos primero un caso simple, la función constante .

Función constante

Lo primero que notamos es que la función se extiende indefinidamente en ambas direcciones, por lo que es difícil hablar del área debajo de la curva, así que debemos ser más específicos. Trataremos de calcular el área debajo de la curva en un intervalo, por ejemplo, el intervalo .

Intervalo

¿Cómo calculamos el área sombreada? Aquí el problema se resuelve fácilmente pues el área que buscamos es la de un rectángulo que tiene 4 unidades de base (la distancia del 1 al 5) y 1 unidad de altura (la distancia del 0 al 1), es decir, el área es de .
Ahora veamos un ejemplo un poco más complicado. Consideremos el área debajo de la gráfica de la función   sobre el mismo intervalo.

Intervalo

La gráfica de esta función sigue siendo una línea recta, pero ahora la recta está inclinada; aun así continúa siendo un problema que sólo se resuelve de manera geométrica.
Así pues, una forma de resolverlo es la siguiente: como la figura que se forma es un trapecio —los lados verticales son paralelos— podemos calcular su área considerando como bases los lados verticales y la altura será la distancia entre las bases, es decir

Gráfica

Por lo que el área es de .
Estos ejemplos son muy simples pues los lados que delimitan las superficies son segmentos de recta. Tratemos de averiguar cómo enfrentar un problema donde el área buscada no está delimitada por segmentos de recta sino por curvas.
Observa los siguientes ejemplos.

Área debajo de una parábola
Área debajo de una parábola




3.2 Teorema Fundamental del cálculo. 
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Weisstein, Eric W.. (2015). Teorema fundamental del cálculo. 19 de noviembre del 2015, de MathWorld Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo



3.3 Propiedades de la integral definida. 
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

\int_a^b \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \, \mathrm{g} \left( \, x \, \right) </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \, \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 

La integral del producto de un número real    k    por una función es igual al producto de    k    por la integral de dicha función:

\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, </p> <pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, </p> <pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>
Si hacemos    a = b    en la igualdad anterior se tiene que
</p> <pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, - \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>
como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que
\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0
para cualquier número real  a .

Dados tres números reales cualesquiera,    a, \, b, \, c    se tiene que:
\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Si en el intervalo    \left( \, a, \, b \, \right)    la función  \mathrm{f}  es mayor o igual que la función   \mathrm{g}    entonces
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

En particular, si    \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0

Analogamente, si    0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces
0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Si en el intervalo    \left( \, a, \, b \, \right)    la función  \mathrm{f}  es mayor que la función   \mathrm{g}    entonces
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

En particular, si    \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0

Analogamente, si    0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces
0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Ejemplo 1


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + \int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x

Ejemplo 2


\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
Wikillerato. (2012). Propiedades de la integral definida. 19 de noviembre del 2015, de Creative Commons. Sitio web: http://www.wikillerato.org/Propiedades_de_la_integral_definida.html



3.4 Área entre una y dos curvas. 
Supongamos que se quiere calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo de x=-4 hasta x=0 que, como se ve gráficamente corresponde a las abscisas de los puntos de intersección .
En este caso, dado que tanto $f(x)$ como $g(x)$ son funciones positivas,
MATH Area limitada por la curva $y=f(x)$, las rectas $x=-4$ $x=0$ y el eje $x$
MATH $=$Area bajo la curva $y=g(x)$ entre $x=-4$ y $x=0$
Observamos que restando del área mayor dada por MATH el área menor que está dada por MATH
se obtiene el área que está entre las dos.
Aquí se ilustra la situación más sencilla con ambas curvas positivas, pero esta situación se puede generalizar
Si hacemos una partición del intervalo MATH en un subintervalo cualquiera MATH si MATH un rectángulo típico sería MATH ; haciendo la suma de las áreas de todos los rectángulos se obtiene MATH tomando ahora MATH se establece el resultado.
ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS .
Si $f$ y g son funciones continuas en $\left[ a,b\right] $ y $g(x)\leq f(x)$ para todo MATH el área de la
región limitada por las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$, las rectas $x=a$ y $x=b$ es MATH
Pasos a seguir : a) determinar las abcisas de los puntos de intersección con $f(x)=g(x)$
b) Si no me dan intervalo donde se va a encontrar el área este presupone que
es entre los valores encontrados en a); de lo contrario se debe establecer cúal(es)
está(n) en el intervalo dado
c) Es útil hacer una gráfica; si no se hace gráfica se mirará algebráicamente
cual de las dos curvas es la mayor en ordenada, en que intervalo.
Ejemplo 1: Encontar el área de la región comprendida entre las gráficas de las curvas $y=senx,y=\cos x$ en el intervalo deMATH

1) Puntos de intersección $senx=\cos x$ dan $x=\frac{\pi}{4}$ y $x=\frac{5\pi}{4}$ son los que están en el intervalo de integración
2) MATH cosx $\geq senx$ AMATH
MATH $senx\geq\cos x $ AMATH
MATH $\cos x\geq senx$ AMATH
Area total =AMATH
Si las dos gráficas están dadas en términos de $x$ y no de $y$ los rectángulos que conducen al área se toman horizontales en vez de verticales con lo cual la variable de integración será $y.$ se mirará cúal curva es mayor en cuanto a abscisa se refiere para hacer $f(y)-g(y)$ o $g(y)-f(y)$ según sea el caso.



3.5 Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor, valor presente y valor futuro.


Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Quinta edición. México: Pearson

 Resumen Unidad 3

En esta unidad vimos las distintas propiedades de la integral definida y así pudimos observar lo que podemos emplear correctamente en las integrales definidas, aprendimos a sacar el área de una curva y el área entre dos curvas, así sea con la función que sea.
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1 comentario:

  1. Unknown30 de noviembre de 2015 a las 18:00

    Muy buen trabajo, en el modulo 3, el tema de área bajo la curva esta muy completo, gracias por la información.

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